Неравенство Белла — Клаузера — Хорна — Шимони

Неравенство Белла — Клаузера — Хорна — Шимони, неравенство CHSH — неравенство, задающее свойство корреляции четырёх случайных величин. Для составной квантовой системы при помощи этого неравенства доказывается несовместимость её классического описания в соответствии с принципом локальности c предсказывемыми квантовой теорией и наблюдаемыми на опыте значениями коррелированности между данными измерений её подсистем (теорема Белла), Получило наименование неравенство CHSH в честь Джона Клаузера, Майкла Хорна, Абнера Шимони и Ричарда Холта, которые вывели его в 1969 году. Это неравенство, которое, как и исходное неравенство Джона Стюарта Белла, обязательно истинно, если существуют локальные скрытые переменные, предположение, которое иногда называют локальный реализм. На практике это неравенство нарушается современными экспериментами в области квантовой механики.

Формулировка и доказательство

Пусть $X_{j},Y_{k},j,k=1,2$ — случайные величины на произвольном вероятностном пространстве $\Omega$ такие, что $\left|X_{j}\right|\leqslant 1,\left|Y_{k}\right|\leqslant 1$. Тогда для любого распределения вероятностей $P$ на $\Omega$ корреляция этих величин удовлетворяет неравенству $\left|\mathbb {E} X_{1}Y_{1}+\mathbb {E} X_{1}Y_{2}+\mathbb {E} X_{2}Y_{1}-\mathbb {E} X_{2}Y_{2}\right|\leqslant 2$, где $\mathbb {E}$ - математическое ожидание, соответствующее распределению $P$.

Доказательство исходит из неравенства: $\left|X_{1}Y_{1}+X_{1}Y_{2}+X_{2}Y_{1}-X_{2}Y_{2}\right|\leqslant \left|Y_{1}+Y_{2}\right|+\left|Y_{1}-Y_{2}\right|\leqslant 2\max \left\{\left|Y_{1}\right|,\left|Y_{2}\right|\right\}$

Из него следует неравенство $-2\leqslant X_{1}Y_{1}+X_{1}Y_{2}+X_{2}Y_{1}-X_{2}Y_{2}\leqslant 2$

Усредняя его по распределению $P$, получаем искомое неравенство.

См. также

• Теорема Белла

Литература

• А. С. Холево. Квантовые системы, каналы, информация. — М.: МЦНМО, 2010. — 328 с. — ISBN 978-5-94057-574-0.
• А. С. Холево. Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории. — М.: МЦНМО, 2020. — 364 с. — ISBN 978-5-4439-1448-0.